Барицентрические координаты

Не следует путать с барицентрической системой отсчёта.

Барицентри́ческие координа́ты — скалярные параметры, набор которых однозначно задаёт точку аффинного пространства (при условии, что в данном пространстве выбран некоторый точечный базис).

Точечный базис (иногда используется термин «базис барицентрических координат») в [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерном аффинном пространстве [math]\displaystyle{ A }[/math]  представляет собой систему из [math]\displaystyle{ (n+1) }[/math]-й точки [math]\displaystyle{ P_0, P_1, \ldots, P_n }[/math],  которые предполагаются аффинно независимыми  (т. е. не лежат в [math]\displaystyle{ (n-1) }[/math]-мерном подпространстве рассматриваемого пространства).

Определение

Пусть [math]\displaystyle{ P }[/math] есть произвольная точка в [math]\displaystyle{ A }[/math].  Каждая точка  [math]\displaystyle{ M\in A }[/math]  может быть единственным образом представлена в виде барицентрической комбинации

[math]\displaystyle{ M = P + \alpha_0\cdot\overrightarrow{PP}_0+\alpha_1\cdot\overrightarrow{PP}_1+\ldots+\alpha_n\cdot\overrightarrow{PP}_n; }[/math]

барицентричность стоящей в правой части линейной комбинации точек означает, что действительные числа [math]\displaystyle{ \alpha_0, \alpha_1, \ldots, \alpha_n }[/math] (коэффициенты комбинации) удовлетворяют условию

[math]\displaystyle{ \alpha_0+\alpha_1+\ldots+\alpha_n=1. }[/math]

Барицентрические координаты (λ1,λ2,λ3) на равностороннем треугольнике и на прямоугольном треугольнике

Числа [math]\displaystyle{ \alpha_0, \alpha_1, \ldots, \alpha_n }[/math]  и называются барицентрическими координатами точки [math]\displaystyle{ M }[/math].  Легко видеть, что барицентрические координаты не зависят от выбора [math]\displaystyle{ P }[/math].

Записанное выше равенство в символике барицентрического исчисления может быть переписано так:

[math]\displaystyle{ M = \alpha_0 P_0 + \alpha_1 P_1 + \ldots + \alpha_n P_n. }[/math]

Свойства

• Барицентрические координаты аффинно инвариантны.
• Барицентрические координаты точек симплекса с вершинами в [math]\displaystyle{ P_0, P_1, \ldots, P_n }[/math] неотрицательны и их сумма равна единице.
• Обращение в нуль барицентрической координаты [math]\displaystyle{ \alpha_i }[/math] равносильно тому, что точка лежит на плоскости, содержащей грань симплекса, противоположную вершине [math]\displaystyle{ P_i }[/math]. Это свойство позволяет рассматривать барицентрические координаты точек симплициального комплекса относительно всех его вершин.
• В барицентрических координатах изотомическое сопряжение двух точек внутри треугольника задаётся формулой [math]\displaystyle{ (x:y:z)\mapsto(x^{-1}:y^{-1}:z^{-1}) }[/math]. В связи с этим, барицентрические координаты часто бывают удобны при работе с изотомическим сопряжением.
• Для точки [math]\displaystyle{ X }[/math], лежащей внутри треугольника [math]\displaystyle{ ABC }[/math], в качестве барицентрических координат можно взять площади треугольников [math]\displaystyle{ (S_{BCX}:S_{CAX}:S_{ABX}) }[/math].
• Барицентрические координаты тесно связаны с трилинейными координатами. А именно, если [math]\displaystyle{ (\alpha:\beta:\gamma) }[/math] — барицентрические координаты точки [math]\displaystyle{ X }[/math] относительно треугольника [math]\displaystyle{ ABC }[/math], а [math]\displaystyle{ a, b, c }[/math] — длины его сторон, то

  [math]\displaystyle{ (x:y:z)=\left(\frac{\alpha}{a}:\frac{\beta}{b}:\frac{\gamma}{c}\right) }[/math]

её трилинейные координаты. Трилинейные координаты, как и барицентрические, определены с точностью до пропорциональности.

• Точка [math]\displaystyle{ M }[/math] является центром масс грузиков с массами [math]\displaystyle{ \alpha_0, \alpha_1, \ldots, \alpha_n }[/math], расположенных в точках [math]\displaystyle{ P_0, P_1, \ldots, P_n }[/math].

История

Барицентрические координаты введены Мёбиусом в 1827 г.

Литература

• Балк М. Б., Болтянский В. Г.  Геометрия масс. — М.: Наука, 1987. — 160 с. — (Библиотечка «Квант». Вып. 61).
• Кострикин А. И., Манин Ю. И.  Линейная алгебра и геометрия. — М.: Наука, 1986. — 304 с.
• Боголюбов А. Н.  Математики. Механики. Биографический справочник. — Киев: Наукова думка, 1983. — 639 с.

См. также

• Трилинейные координаты
• Аффинные преобразования
• Аффинное пространство